Najpopularniejszy od lat podręcznik analizy matematycznej.
Kolejne wydanie drugiej części podręcznika, a zarazem typowych zadań z
analizy matematycznej, które od wielu lat cieszą się niesłabnącym powodzeniem wśród
studentów pierwszych lat matematyki i nauk przyrodniczych uniwersytetów i wyższych
uczelni technicznych oraz studentów akademii ekonomicznych i wyższych szkół
pedagogicznych.
Dla uchronienia czytelnika przed mechanicznym rozwiązywaniem zadań, na
początku każdego rozdziału podano podstawowe definicje i twierdzenia. W ten sposób
odbiorca przy rozwiązywaniu zadań powtarza i teorię. Dzięki temu unika również
nieporozumień mogących wyniknąć z faktu podawania przez różnych autorów twierdzeń
przy różnych założeniach, a czasem nawet przy różnej symbolice.
Głównym celem książki jest nauczenie czytelnika rozwiązywania zadań z
analizy matematycznej. Z tego powodu każdy rozdział składa się z przykładów
całkowicie rozwiązanych i z zadań do samodzielnego rozwiązania. Dla umożliwienia
odbiorcy kontrolowania, czy rozwiązuje zadania we właściwy sposób, na końcu
podręcznika podano odpowiedzi do zadań nie rozwiązanych, a nadto przy trudniejszych
przykładach wskazówki pomocne do ich rozwiązania.
Drugim celem niniejszej publikacji jest ilustracja teorii analizy matematycznej
przykładami, ale oczywiście nie zastąpienie jej. Opanowanie, bowiem teorii analizy
matematycznej jest możliwe jedynie przez dokładne poznanie twierdzeń wraz z dowodami,
które czytelnik znajdzie w odpowiednich podręcznikach teorii analizy matematycznej.
Druga część książki dotyczy m.in. analizy funkcji wielu zmiennych,
funkcji uwikłanych i funkcji zmiennej zespolonej, elementów geometrii różniczkowej i
rachunku prawdopodobieństwa oraz równań różniczkowych.
Niniejsze wydanie ukazuje się w zmienionej i rozszerzonej postaci, aby dostosować
podręcznik do nowego programu matematyki na uczelniach, zarówno na studiach dziennych,
jak i wieczorowych oraz zaocznych. Z tego względu w części teoretycznej rozbudowane
zostały te fragmenty, które sprawiają szczególne trudności przy przygotowywaniu się
studentów do egzaminów, a liczba zadań w poszczególnych rozdziałach została znacznie
powiększona.
Spis treści:
Rozdział 1. Funkcje dwu lub więcej zmiennych 7
1.1. Przestrzeń euklidesowa 7
1.2. Zbiory w przestrzeni euklidesowej 9
1.3. Zbieżność w przestrzeni euklidesowej 11
1.4. Funkcja, granica funkcji, ciągłość funkcji w przestrzeni euklidesowej 11
1.5. Zbiory płaskie 13
1.6. Zbieżność ciągów w przestrzeni R2 16
1.7. Funkcje dwóch zmiennych 16
1.8. Granica i ciągłość funkcji dwóch zmiennych 17
1.9. Pochodne cząstkowe 21
1.10. Pochodne jednostronne i pochodne w kierunku osi 28
1.11. Twierdzenie o przyrostach. Różniczka zupełna 31
1.12. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów 36
1.13. Różniczki wyższych rzędów funkcji wielu zmiennych 42
1.14. Operacje dystrybutywne (liniowe) w przestrzeni liniowej i ich zastosowania przy
obliczaniu różniczek zupełnych 44
1.15. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych 47
1.16. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych 49
1.17. Ekstrema absolutne funkcji dwóch zmiennych 54
Rozdział 2. Funkcje uwikłane 59
2.1. Funkcje wielowartościowe (wieloznaczne) 59
2.2. Funkcje uwikłane jednej zmiennej 60
2.3. Funkcje uwikłane wielu zmiennych 67
2.4. Ekstrema funkcji uwikłanej jednej lub dwóch zmiennych 71
2.5. Przekształcanie ciągłe przestrzeni euklidesowej w siebie. Jakobiany 78
2.6. Układy funkcji uwikłanych 84
2.7. Ekstrema warunkowe 86
2.8. Funkcje jednorodne 90
Rozdział 3. Zastosowania geometryczne rachunku różniczkowego do krzywej płaskiej
92
3.1. Styczna i normalna do krzywej płaskiej 92
3.2. Krzywizna i promień krzywizny 94
3.3. Ewuluta i ewolwenta 98
3.4. Płaszczyzna styczna do powierzchni 103
3.5. Obwiednia rodziny linii 105
3.6. Linie w przestrzeni 106
3.7. Krzywizna i skręcenie krzywej przestrzennej 112
Rozdział 4. Całki podwójne 115
4.1. Całka podwójna, interpretacja geometryczna 115
4.2. Własności całek podwójnych 116
4.3. Zamiana całki podwójnej na iterowaną 117
4.4. Zamiana zmiennych w całce podwójnej 117
4.5. Całka niewłaściwa ?e- x2 dx 118
4.6. Obliczanie całki podwójnej. Objętość bryły 119
4.7. Pole powierzchni w przestrzeni 131
4.8. Inne zastosowania całek podwójnych 138
Rozdział 5. Całki potrójne 141
5.1. Zbiory punktów w przestrzeni 141
5.2. Całka potrójna 142
5.3. Zamiana całki potrójnej na iterowaną 143
5.4. Zamiana współrzędnych prostokątnych na współrzędne sferyczne i walcowe 144
5.5. Obliczanie całki potrójnej 146
5.6. Całka potrójna w zastosowaniach technicznych 154
Rozdział 6. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe 158
6.1. Łuki i krzywe gładkie 158
6.2. Całka krzywoliniowa płaska skierowana 159
6.3. Całka krzywoliniowa płaska nieskierowana 163
6.4. Całka krzywoliniowa w przestrzeni skierowana 165
6.5. Całka krzywoliniowa w przestrzeni nieskierowana 167
6.6. Wzór Greena 168
6.7. Całka różniczki zupełnej funkcji dwóch zmiennych 170
6.8. Całka różniczki zupełnej funkcji trzech zmiennych 173
6.9. Pola wektorowe 176
6.10. Całka powierzchniowa niezorientowana 184
6.11. Całka powierzchniowa zorientowana 190
6.12. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Twierdzenie Stokesa 193
Rozdział 7. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego o rozdzielonych
zmiennych 196
7.1. Uwagi ogólne o równaniach różniczkowych rzędu pierwszego 196
7.2. Uwagi ogólne o rozdzielaniu zmiennych 197
7.3. Przykłady rozwiązywania równań o rozdzielonych zmiennych 198
Rozdział 8. Niektóre równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego rozwiązalne
metodą podstawienia 214
8.1. Równania różniczkowe postaci y’=f(ax + by + c) 214
8.2. Równania różniczkowe jednorodne względem x i y 218
a1x + b1y +c1
8.3. Równania różniczkowe typu y’=f() 223
a2x + b2y + c2
Rozdział 9. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego 227
9.1. Definicje 227
9.2. Równania różniczkowe liniowe jednorodne 227
9.3. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne 229
9.4. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne (cd.) 238
9.5. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne (dokończenie) 248
Rozdział 10. Rodziny linii 252
10.1. Równanie różniczkowe rodziny linii 252
10.2. Rodzina linii ortogonalnych 255
Rozdział 11. Niektóre równania różniczkowe nieliniowe rzędu pierwszego
261
11.1. Równanie różniczkowe Bernoulliego 261
11.2. Równanie różniczkowe Riccatiego 264
11.3. Równanie różniczkowe Clairauta 266
11.4. Równanie różniczkowe Lagrange’a-d’Alemberta 269
11.5. Równania różniczkowe zupełne 273
11.6. Czynnik całkujący 275
Rozdział 12. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego sprowadzalne do równań
rzędu pierwszego 280
12.1. Równanie różniczkowe typu F(x, y’, y’’) = 0 280
12.2. Równanie różniczkowe typu F(y, y’, y’’) = 0 283
12.3. Równanie różniczkowe jednorodne względem y, y’, y’’ 285
Rozdział 13. Równania różniczkowe liniowe o współczynnikach stałych. Równanie
Eulera 288
13.1. Równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego 288
13.2. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne 288
13.3. Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne 292
13.4. Równanie różniczkowe Eulera 300
13.5. Równanie różniczkowe liniowe rzędu n 304
Rozdział 14. Układ dwóch równań różniczkowych rzędu pierwszego
309
14.1. Uwagi ogólne 309
14.2. Rozwiązywanie układu równań 310
Rozdział 15. Szeregi trygonometryczne 314
15.1. Uwagi ogólne 314
15.2. Rozwijanie funkcji w szereg Fouriera 318
Rozdział 16. Funkcje zmiennej zespolonej 326
16.1. Pojęcie funkcji zmiennej zespolonej 326
16.2. Liczby zespolone jako pary uporządkowane liczb rzeczywistych 328
16.3. Zbiór liczb zespolonych jako przestrzeń metryczna 332
16.4. Ciągi i szeregi liczb zespolonych 333
16.5. Granica funkcji zmiennej zespolonej 335
16.6. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej 337
16.7. Ciągi i szeregi funkcyjne 340
16.8. Szeregi potęgowe 342
16.9. Mnożenie szeregów 345
16.10. Funkcje całkowite 348
16.11. Nieskończoność zespolona. Granice niewłaściwe. Rzut stereograficzny 351
16.12. Całka funkcji zespolonej 354
16.13. Funkcje holomorficzne 357
16.14. Szeregi Laurenta. Punkty regularne i osobliwe funkcji zmiennej zespolonej 361
16.15. Funkcje meromorficzne i residua funkcji 366
16.16. Logarytmy i potęgi liczb zespolonych. Gałąź jednoznaczna funkcji logarytmu
zmiennej zespolonej 370
16.17. Funkcje zmiennej zespolonej jednokrotne i wielokrotne. Przedłużenia analityczne
372
16.18. Elementy analityczne. Przedłużenia analityczne wzdłuż krzywej. Funkcje
analityczne wieloznaczne (wielowartościowe). Powierzchnie Riemanna 374
Rozdział 17. Transformacja Laplace’a i jej zastosowania 378
17.1. Całka Laplace’a 378
17.2. Transformacja Laplace’a 379
17.3. Transformacja odwrotna Laplace’a 379
17.4. Liniowość transformacji Laplace’a 381
17.5. Transformata pochodnej 382
17.6. Zastosowanie transformacji Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych
zwyczajnych i układów równań różniczkowych 383
Rozdział 18. Równania różniczkowe cząstkowe 386
18.1. Definicja ogólna 386
18.2. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego 386
Rozdział 19. Rachunek wariacyjny 396
19.1. Uwagi wstępne 396
19.2. Twierdzenie Eulera 397
Rozdział 20. Rachunek prawdopodobieństwa 400
20.1. Definicja prawdopodobieństwa 400
20.2. Zdarzenia niezależne. Prawdopodobieństwo koniunkcji (iloczynu) zdarzeń losowych
404
20.3. Twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym (całkowitym). Wzór Bayesa 410
20.4. Zmienne losowe, ich rozkłady. Dystrybuanta 412
20.5. Wartość przeciętna, momenty, wariancje zmiennej losowej 415
20.6. Rozstęp, mediana moda 418
20.7. Twierdzenie Bernoulliego. Rozkład dwumianowy (Bernoulliego) 420
20.8. Twierdzenie i rozkład Poissona 422
20.9. Rozkład normalny 423
20.10. Przybliżenie rozkładu Bernoulliego do rozkładu normalnego 426
20.11. Prawo wielkich liczb Bernoulliego 427
Rozwiązania i odpowiedzi 429
Skorowidz 481
491 stron, miękka oprawa
