Autor
wprowadza Czytelnika w bardzo atrakcyjną tematykę dotyczącą fraktali i zjawisk
chaotycznych. Przedstawia pojęcia, twierdzenia i właściwości niezbędne do
jej zrozumienia. Opisuje konstrukcję fraktali i ich zastosowania, a także elementy
teorii wymiaru. Przedstawia najważniejsze pojęcia teorii układów dynamicznych
związane z teorią chaosu. Zajmuje się zbiorami Julii i zbiorami Mandelbrota. Oddzielne
dwa rozdziały poświęca „diabelskim schodkom” i KAM-teorii. Swoje rozważania
teoretyczne potwierdza doskonale dobranymi przykładami. Bardzo interesującym dodatkiem
są rysunki fraktali otrzymanych za pomocą komputera. Ilustracje te nie tylko mają
walory naukowe, ale też dostarczą Czytelnikowi przyjemnych wrażeń artystycznych.
Polecamy tę
książkę studentom kierunków matematyczno-przyrodniczych i technicznych oraz wszystkim
osobom, które interesują się geometrią fraktalną, dynamiką chaotyczną i grafiką
komputerową.
Spis treści:
Przedmowa
1. Przykłady fraktali
1.1. Rodzina zwartych podzbiorów płaszczyzny
1.2. Przykłady fraktali
1.3. Jak zdefiniować fraktal?
2. Układ iterowanych odwzorowań (IFS)
2.1. Choinka i inne obrazki
2.2. Odwzorowania zwężające
2.3. Metryka Hausdorffa
2.4. Układ iterowanych odwzorowań
3. Probabilistyczny algorytm IFS
3.1. Adresy punktów atraktora
3.2. Losowanie odwzorowań
3.3. Mierzenie gęstości rozkładu punktów
3.4. Operacja Markowa i twierdzenie Eltona
4. Zapamiętywanie i przetwarzanie obrazów
4.1. Obraz charakteryzowany przez parametry
4.2. Przykłady przetwarzania obrazów
4.3. Wpływ dokładności parametrów na atraktor
4.4. Kilka uwag dodatkowych
5. Wymiary: fraktalny, Hausdorffa i topologiczny
5.1. Wymiar fraktalny
5.2. Przykłady obliczania wymiaru
5.3. Wymiar Hausdorffa i wymiar topologiczny
5.4. Definicja fraktali
6. Układy dynamiczne
6.1. Układ dynamiczny z czasem dyskretnym
6.2. Układ dynamiczny z czasem ciągłym
6.3. Odwzorowanie Poincarego
6.4. Trajektorie i orbity okresowe
6.5. Atraktory i repelery
6.6. Przykłady kaskad
6.7. Potoki na płaszczyźnie
6.8. Przykłady potoków
7. Bifurkacje Feigenbauma
7.1. Bifurkacje węzeł-siodło i podwojenie okresu
7.2. Rodzina odwzorowań kwadratowych
7.3. Twierdzenie Sharkovskiego
7.4. Miary niezmiennicze
7.5. Wykładnik Lapunowa
7.6. Dynamika chaotyczna
8. Podkowa Smałe'a
8.1. Geometryczny opis odwzorowania
8.2. Homeomorfizm między punktami i ich adresami
8.3. Własności zbioru niezmienniczego
8.4. Struktury homokliniczne
8.5. Twierdzenie Shilnikova
9. Przykfady dziwnych atraktorów
9.1. Drgania sprężystego pręta
9.2. Elektroniczny generator drgań
9.3. Atraktory układu synchronizacji drgań
10. Diabelskie schodki
10.1. Konstruowanie schodków
10.2. Inne przykłady diabelskich schodków
10.3. Zagadnienie synchronizacji drgań
11. KAM-teoria
11.1. Trochę historii
11.2. Układ hamiltonowski na płaszczyźnie
11.3. Małe zaburzenia układu całkowalnego
11.4. Małe mianowniki
11.5. Twierdzenie Kołmogorowa
11.6. Rozpadanie się torusów rezonansowych
12. Odwzorowania analityczne. Zbiory Julii
12.1. Funkcje wymierne
12.2. Półtrajektorie i orbity okresowe
12.3. Zbiory Fatou i zbiory Julii
12.4. Twierdzenie Montela
12.5. Punkty krytyczne odwzorowania
12.6. Własności zbioru Fatou
12.7. Wielomiany
12.8. Algorytmy numeryczne
13. Zbiór Mandelbrota
13.1. Definicja i własności
13.2. Składowe zbioru Mandelbrota
13.3. Twierdzenie o kwiatach
13.4. Wielomian trzeciego stopnia
13.5. Algorytmy numeryczne
Literatura
Skorowidz
166 stron, B5, oprawa twarda
