Na podstawie zdobytych doświadczeń w pracy ze studentami Autorki niniejszego
tekstu starały się pogodzić dążenie do zupełności i różnorodności materiału z
rozsądnym ograniczeniem jego objętości. Nie doprowadziło to do znacznego zmniejszenia
liczby tzw. szablonowych zadań o charakterze czysto rachunkowym, lecz do wydobycia z
ogółu dostępnych ich najbardziej reprezentatywnych przedstawicieli. W ten sposób do
zgromadzonego tu materiału zostały włączone przede wszystkim te zadania, które
faktycznie zalecane są studentom do rozwiązania.
Spis treści:
PRZEDMOWA ... 5
ROZDZIAŁ 1
WIADOMOŚCI WSTĘPNE ... 7
§ 1. Wartość bezwzględna ... 7
§ 2. Dwumian Newtona ... 8
§ 3. Indukcja zupełna ... 11
§ 4. Ograniczoność zbioru. Kresy zbioru ... 13
ROZDZIAŁ 2
LICZBY ZESPOLONE ... 15
§ 1. Działania na liczbach zespolonych ... 15
§ 2. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych ... 16
§ 3. Postać trygonometryczna i wykładnicza liczb zespolonych ... 19
§ 4. Potęgowanie liczb zespolonych ... 20
§ 5. Pierwiastki z liczb zespolonych ... 21
§ 6. Równania algebraiczne w zbiorze liczb zespolonych ... 23
ROZDZIAŁ 3
ELEMENTY ALGEBRY LINIOWEJ ... 25
§ 1. Wyznaczniki ... 25
§ 2. Macierze ... 30
§ 3. Układy równań liniowych ... 36
ROZDZIAŁ 4
GEOMETRIA ANALITYCZNA ... 41
§ 1. Wektory w Rn ... 41
§ 2. Prosta w Rn ... 45
§ 3. Płaszczyzna w R3 ... 49
§ 4. Prosta i płaszczyzna w R3 ... 53
ROZDZIAŁ 5
KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO W R2. POWIERZCHNIE STOPNIA DRUGIEGO W R3 ... 55
§ 1. Okrąg ... 55
§ 2. Elipsa ... 57
§ 3. Hiperbola ... 59
§ 4. Parabola ... 61
§ 5. Niekartezjańskie układy współrzędnych ... 62
§ 6. Krzywe opisane równaniami w postaci parametrycznej ... 65
§ 7. Powierzchnie stopnia drugiego w R3 ... 67
ROZDZIAŁ 6
PRZESTRZENIE LINIOWE ... 71
§ 1. Rzeczywista przestrzeń liniowa i jej podprzestrzenie ... 71
§ 2. Kombinacja liniowa ... 73
§ 3. Liniowa zależność i niezależność wektorów ... 74
§ 4. Baza i wymiar rzeczywistej przestrzeni liniowej ... 76
§ 5. Przekształcenia liniowe ... 78
ROZDZIAŁ 7
CIĄGI W Rn ... 79
§ 1. Własności ciągu w R ... 79
§ 2. Granica ciągu w R ... 72
§ 3. Granica ciągu w Rn ... 86
ROZDZIAŁ 8
SZEREGI W Rn ... 89
§ 1. Zbieżność szeregów w R ... 89
§ 2. Zbieżność szeregów w Rn ... 95
ROZDZIAŁ 9
FUNKCJA RZECZYWISTA ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ ... 97
§ 1. Funkcja i jej własności ... 97
§ 2. Granica funkcji ... 103
§ 3. Ciągłość funkcji ... 109
ROZDZIAŁ 10
POCHODNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ ... 111
§ 1. Obliczanie pochodnych funkcji ... 111
§ 2. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji ... 120
§ 3. Pochodne wyższych rzędów ... 122
§ 4. Różniczka funkcji ... 125
§ 5. Obliczanie granic funkcji przy zastosowaniu reguły de l’Hospitala ... 126
§ 6. Asymptoty funkcji ... 128
§ 7. Monotoniczność funkcji ... 129
§ 8. Ekstrema funkcji ... 131
§ 9. Przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji. Punkty przegięcia funkcji ... 133
§ 10. Badanie przebiegu zmienności funkcji ... 134
ROZDZIAŁ 11
SZEREGI POTĘGOWE ... 139
§ 1. Wzór Taylora ... 139
§ 2. Szereg Taylora ... 140
§ 3. Promień zbieżności i przedział zbieżności szeregu potęgowego ... 144
ROZDZIAŁ 12
FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH ... 145
§ 1. Wiadomości wstępne ... 145
§ 2. Granica funkcji wielu zmiennych ... 145
§ 3. Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu ... 147
§ 4. Pochodne cząstkowe drugiego rzędu ... 152
§ 5. Różniczka zupełna funkcji ... 154
§ 6. Odwzorowania różniczkowalne ... 156
§ 7. Ekstrema funkcji dwu zmiennych ... 158
§ 8. Płaszczyzna styczna i prosta normalna do powierzchni w R3 ... 162
§ 9. Wzór Taylora ... 164
ROZDZIAŁ 13
CAŁKA NIEOZNACZONA ... 165
§ 1. Wzory podstawowe ... 165
§ 2. Całkowanie bezpośrednie ... 168
§ 3. Całkowanie przez podstawienie ... 170
§ 4. Całkowanie przez części ... 174
§ 5. Całkowanie funkcji wymiernych przez rozkład na ułamki proste ... 176
§ 6. Całkowanie funkcji niewymiernych ... 178
§ 7. Całkowanie funkcji trygonometrycznych ... 181
§ 8. Wzory rekurencyjne ... 183
§ 9. Całkowanie z zastosowaniem różnych metod ... 184
ROZDZIAŁ 14
CAŁKA OZNACZONA ... 187
§ 1. Sumy całkowe Riemanna ... 187
§ 2. Obliczanie całki oznaczonej ... 188
§ 3. Pole figury płaskiej ... 190
§ 4. Długość łuku krzywej ... 192
§ 5. Objętość i pole powierzchni brył ... 193
§ 6. Zastosowania fizyczne całki oznaczonej ... 195
ROZDZIAŁ 15
CAŁKA NIEWŁAŚCIWA ... 197
§ 1. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej ... 197
§ 2. Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym ... 199
§ 3. Zastosowania całki niewłaściwej ... 201
ROZDZIAŁ 16
CAŁKA PODWÓJNA I CAŁKA POTRÓJNA ... 203
§ 1. Całka podwójna we współrzędnych kartezjańskich ... 203
§ 2. Zamiana zmiennych w całce podwójnej ... 209
§ 3. Zastosowania całki podwójnej ... 213
§ 4. Całka potrójna ... 216
ROZDZIAŁ 17
ELEMENTY TEORII POLA ... 219
§ 1. Gradient pola skalarnego ... 219
§ 2. Pochodna kierunkowa ... 220
§ 3. Dywergencja pola wektorowego ... 222
§ 4. Rotacja pola wektorowego ... 223
§ 5. Potencjalne pole wektorowe ... 224
ROZDZIAŁ 18
CAŁKA KRZYWOLINIOWA ... 227
§ 1. Całka krzywoliniowa nieskierowana ... 227
§ 2. Całka krzywoliniowa skierowana ... 229
§ 3. Całka krzywoliniowa w polu wektorowym potencjalnym ... 233
§ 4. Twierdzenie Greena ... 235
§ 5. Zastosowania całki krzywoliniowej ... 237
ROZDZIAŁ 19
CAŁKA POWIERZCHNIOWA ... 239
§ 1. Całka powierzchniowa niezorientowana ... 239
§ 2. Całka powierzchniowa zorientowana ... 241
§ 3. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ... 243
§ 4. Twierdzenie Stokesa ... 245
ROZDZIAŁ 20
FUNKCJA ZESPOLONA ZMIENNEJ ZESPOLONEJ ... 247
§ 1. Wiadomości wstępne ... 247
§ 2. Pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej ... 249
§ 3. Ciągi i szeregi o wyrazach zespolonych ... 250
§ 4. Całka funkcji zmiennej zespolonej ... 253
§ 5. Szeregi Taylora i Laurenta ... 256
§ 6. Residua funkcji ... 258
ROZDZIAŁ 21
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU PIERWSZEGO ... 261
§ 1. Całka ogólna i całka szczególna równania różniczkowego rzędu pierwszego ...
361
§ 2. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych ... 262
§ 3. Równania różniczkowe liniowe ... 264
§ 4. Równania różniczkowe zupełne ... 267
ROZDZIAŁ 22
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU DRUGIEGO LINIOWE ... 269
§ 1. Równania różniczkowe rzędu drugiego liniowe jednorodne o stałych
współczynnikach ... 269
§ 2. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach ... 271
ROZDZIAŁ 23
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE ... 277
§ 1. Równania różniczkowe rzędu pierwszego ... 277
§ 2. Równania różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego ... 282
§ 3. Metoda d’Alemberta i metoda Fouriera ... 285
ROZDZIAŁ 24
SZEREG TRYGONOMETRYCZNY FOURIERA ... 289
ROZDZIAŁ 25
PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A ... 293
§ 1. Definicja i własności transformaty Laplace’a ... 293
§ 2. Odwrotne przekształcenie Laplace’a ... 297
§ 3. Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do rozwiązywania równań różniczkowych
... 298
306 stron, B5, oprawa miękka
