Rachunek prawdopodobieństwa wspomagany komputerowo dla studentów matematyki
stosowanej
Rachunek prawdopodobieństwa jest przypuszczalnie tą dziedziną matematyki, która w
XXI wieku miała najwięcej zastosowań w naukach przyrodniczych, technicznych,
społecznych i ekonomicznych, a także w bezpośrednim rozwiązywaniu zagadnień
praktycznych. Statystyka oraz nowe dziedziny, na przykład metody Monte Carlo, sieci
neuronowe, uczenie maszynowe czy różnego rodzaju zadania optymalizacyjne i
klasyfikacyjne, czerpią pełnymi garściami z dotychczasowych metod i osiągnięć
rachunku prawdopodobieństwa, ale jednocześnie dostarczają nowych problemów, które
inspirują dalszy gwałtowny rozwój teorii. Podstawową przyczyną takiego stanu rzeczy
są szeroko dostępne i nadal wzrastające moce obliczeniowe komputerów. Wychodząc
naprzeciw nowym wyzwaniom, autor podręcznika opracował nowoczesny roczny kurs rachunku
prawdopodobieństwa dla studentów matematyki stosowanej.
„Jerzy Ombach niezwykle umiejętnie łączy solidną
bazę teoretyczną zawierającą wszystkie niezbędne w edukacji matematycznej twierdzenia
z prezentacją ich zastosowań oraz ilustrujących je przykładów. Narracja prowadzona
jest w sposób przejrzysty, ukazujący wielkie doświadczenie dydaktyczne Autora, kolejne
rozdziały tworzą spójną, logiczną całość. Szczególnie ciekawym i nietypowym rozwiązaniem
jest dołączenie do każdego rozdziału nie tylko zadań do samodzielnego rozwiązania,
lecz także przykładów z zastosowaniem programu Mapie".
Dr hab. Henryk Gacki, prof. UŚ
„Myślę, że ze względu na jasność i prostotę wywodów, liczne przykłady
zastosowań oraz kody dostępne w programie Mapie po tę książkę będą sięgać
studenci nie tylko matematyki, ale również innych kierunków studiów- zwłaszcza
ekonomicznych, na których metody wykorzystujące rachunek prawdopodobieństwa są
stosowane do opisu szeroko rozumianych procesów gospodarczych".
Dr hab, Anna Pajor, prof, UEK
Prof. dr hab. Jerzy Ombach jest kierownikiem Katedry Matematyki
Stosowanej w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego. Od ponad 20 lat w swoich
podręcznikach z równań różniczkowych i rachunku prawdopodobieństwa oraz w ramach
zajęć ze studentami realizuje ideę połączenia ścisłego wykładu z samodzielnym i
świadomym wykorzystaniem przez studentów olbrzymich możliwości stworzonych przez
komputery i oprogramowanie wspierające działalność matematyczną. W 2007 roku
otrzymał prestiżową Nagrodę Pro Arte Docendi przyznawaną za wybitne osiągnięcia
dydaktyczne
Wstęp
Rozdział 1. Przestrzenie probabilistyczne
1.1. Definicja prawdopodobieństwa
1.2. Schemat klasyczny
1.2.1. Losowania
1.2.2. Zastosowania schematu klasycznego
1.2.3. Nieskończony zbiór zdarzeń
1.3. Prawdopodobieństwo geometryczne
1.3.1. Kłopoty z wyborem przestrzeni - paradoks Bertranda
1.4. Prawdopodobieństwo warunkowe
1.4.1. Prawdopodobieństwo całkowite
1.4.2. Wzór Bayesa
1.5. Zdarzenia niezależne
1.5.1. Iloczyn kartezjański
1.5.2. Schemat Bernoulliego
1.6. Ćwiczenia z Mapie
1.7. Zadania
Rozdział 2. Rozkłady prawdopodobieństwa i zmienne losowe
2.1. Rozkład prawdopodobieństwa
2.1.1. Miary probabilistyczne w Rn
2.1.2. Rozkład dyskretny
2.1.3. Rozkład ciągły
2.1.4. Dystrybuanta
2.2. Zmienne i wektory losowe
2.2.1. Problem mierzalności
2.2.2. Rozkład zmiennej losowej
2.2.3. Wektor losowy
2.2.4. Rozkłady brzegowe i warunkowe
2.2.5. Niezależność
2.2.6. Funkcje zmiennych i wektorów losowych
2.3. Ćwiczenia z Mapie
2.4. Zadania
Rozdział 3. Parametry rozkładów
3.1. Nadzieja matematyczna
3.2. Wariancja i odchylenie standardowe, momenty
3.3. Problem istnienia wartości oczekiwanej i momentów
3.4. Własności wartości oczekiwanej i wariancji
3.5. Obliczanie momentów rozkładu
3.6. Własności wynikające z niezależności
3.7. Nierówność Czebyszewa
3.8. Przykłady zastosowań
3.9. Słabe prawo wielkich liczb
3.10. Kwantyle
3.11. Korelacja i regresja liniowa
3.11.1. Kowariancja i korelacja
3.11.2. Regresja liniowa
3.12. Ćwiczenia z Mapie
3.13. Zadania
Rozdział 4. Przegląd ważniejszych rozkładów
4.1. Rozkłady związane ze zliczaniem
4.1.1. Rozkład Bernoulliego (dwupunktowy (B(l,p), (0,1,p))
4.1.2. Rozkład dwumianowy, B(n,p)
4.1.3. Rozkład wielomianowy
4.1.4. Rozkład Poissona
4.1.5. Rozkład hipergeometryczny
4.2. Rozkłady czasu oczekiwania
4.2.1. Rozkład geometryczny
4.2.2. Rozkład Pascala
4.2.3. Rozkład wykładniczy
4.2.4. Proces Poissona
4.3. Rozkład normalny
4.3.1. Centralne twierdzenie graniczne
4.3.2. Przykłady
4.4. Ćwiczenia z Mapie
4.5. Zadania
Rozdział 5. Własności asymptotyczne
5.1. Zbieżność zmiennych losowych
5.2. Mocne prawa wielkich liczb
5.3. Zbieżność rozkładów
5.4. Funkcje charakterystyczne
5.4.1. Definicja i własności
5.4.2. Centralne twierdzenie graniczne - dowód
5.5. Ćwiczenia z Mapie
5.6. Zadania
Rozdział 6. Metody Monte Carlo
6.1. Estymatory
6.2. Przedziały ufności
6.3. Całkowanie metodami Monte Carlo
6.4. Optymalizacja stochastyczna
6.5. Liczby pseudolosowe
6.6. Ćwiczenia z Mapie
6.7. Zadania
Rozdział 7. Warunkowa wartość oczekiwana
7.1. Nadzieje rozkładów warunkowych
7.2. Nadzieja warunkowa - sytuacja ogólna
7.3. Nierówność Jensena
7 4. Nadzieja warunkowa jako rzutowanie
7.5. Przykłady zastosowań
7.5.1. Regresja nieliniowa
7.6. Martyngały
7.7. Ćwiczenia z Mapie
7.8. Zadania
Rozdział 8. Łańcuchy Markowa
8.1. Definicje i przykłady
8.1.1. Spacer losowy
8.2. Nieredukowalne łańcuchy Markowa
8.2.1. Powracanie i okresowość
8.2.2. Ergodyczność
8.3. Markowowskie metody Monte Carlo, MCMC
8.4. Ćwiczenia z Mapie
8.5. Zadania
Rozdział 9. Wielowymiarowy rozkład normalny
9.1. Niektóre fakty z algebry liniowej
9.2. Parametry rozkładu n-wymiarowgo
9.2.1. Funkcje generujące momenty
9.3. Rozkład normalny
9.4. Rozkład normalny na płaszczyźnie
9.5. Ćwiczenia z Mapie
9.6. Zadania
Rodział 10. Miara i całka w pigułce
10.1. Miara
10.2. Całka względem miary
10.3. Własności całki
10.3.1. Całka Lebessue‘a
10.3.2. Całka Riemanna a całka Lebesgue‘a
10.3.3. Twierdzenie Fubiniego
Rozdział 11. Dodatek
11.1. Rozszerzanie miar
11.2. Iloczyny kartezjańskie
11.3. Twierdzenie Kołmogorowa o rozkładach zgodnych
11.4. Generowanie rozkładu przez dystrybuantę
11.5. Twierdzenie 0-1 Kołmogorowa
Uwagi bibliograficzne
Bibliografia
Skorowidz
294 strony, Format: 17.0x24.0cm, oprawa miękka
