Elementy analizy tensorowej
Drugie, zmienione wydanie nowoczesnego wykładu analizy tensorowej w naukach fizycznych
i technicznych.
Autor szczegółowo wyjaśnia, czym jest rozmaitość różniczkowa, wektor i tensor
oraz dlaczego wektor nie należy do przestrzeni, w której punktach jest zdefiniowany, poświęca
uwagę pochodnej Liego i jej związkom z symetriami i prawami zachowania, tensorom
względnym i znajdowaniu linii geodezyjnych, a teraz także reprezentacji równania
dewiacji geodezyjnej w postaci układu równań dla skalarów Jacobiego. Tekst główny
uzupełniają przykłady i zadania. Ostatni rozdział to monografia zastosowań analizy
tensorowej do badania krzywizny i symetrii przestrzeni Riemanna oraz czasoprzestrzeni.
Podręcznik ten przeznaczony jest dla wszystkich, którzy używają tensorów w naukach
fizycznych i technicznych. Może być interesujący dla matematyków, stanowi bowiem etap
pośredni między klasyczną geometrią w przestrzeni trójwymiarowej a nowoczesną
abstrakcyjną geometrią różniczkową rozmaitości.
Przedmowa do drugiego wydania . 9
Przedmowa do pierwszego wydania 10
1. Preliminaria
. 13
1.1. Przestrzen i czasoprzestrzen w matematyce
. 13
1.2. Wektory na rozmaitosci
15
1.3. Tensory
.
16
1.4. Przestrzenie Rn i En
17
1.4.1. Afiniczna przestrzen euklidesowa En
21
1.5. Odwzorowania przestrzeni Rn
. 24
1.6. Transformacje współrzednych
. 29
1.6.1. Współrzedne biegunowe na płaszczyznie
33
1.7. Wymiar przestrzeni
.
36
1.8. Notacja
.
37
2. Rozmaitosci różniczkowe
. 40
2.1. Wprowadzenie
40
2.2. Definicja rozmaitosci rózniczkowej
. 42
2.2.1. Rozmaitosc
50
2.3. Przykłady rozmaitosci gładkich
53
2.4. Rozmaitosci gładkie w Rn
. 61
2.5. Rozmaitosci indukowane i iloczynowe
. 67
2.6. Powierzchnie jednostronne. Wstega Möbiusa i butelka Kleina .
69
2.7. Odwzorowania rozmaitosci
. 74
2.8. Krzywe gładkie
.
81
2.9. Klasyfikacja rozmaitosci
85
3. Wektory i tensory
. 88
3.1. Geometryczny opis wektora
88
3.2. Przestrzen styczna do En
. 91
3.3. Liniowa transformacja współrzednych w En i zmiana bazy w TpEn 93
3.4. Wektor jako operator rózniczkowy
95
3.5. Przestrzen styczna do rozmaitosci
. 98
3.6. Gładkie pola wektorowe
102
3.7. Wektory kowariantne
105
3.8. Pola kowektorów i gradient funkcji
108
3.8.1. Graficzne przedstawienie kowektora
112
3.9. Tensory
.
115
3.10. Składowe i bazy tensorów
. 117
3.11.Pola tensorowe
.
119
3.12. Działania na tensorach
.
124
3.13.Komutator pól wektorowych
126
3.14.Tensor metryczny
130
3.15.Operacje na tensorach za pomoca metryki
140
3.16.Wyznaczniki i symbol Leviego–Civity
. 143
3.17. Uogólniony symbol Kroneckera
149
3.18.Tensory wzgledne
152
3.19. Rozmaitosci dwuwymiarowe
153
3.20. Metryka hiperpowierzchni
. 154
3.20.1. Sfera Sn
.
160
3.21. Przestrzenie hiperboliczne
. 161
3.21.1.Wstep historyczny
161
3.21.2. Płaszczyzna hiperboliczna jako sfera w przestrzeni Minkowskiego 163
3.21.3.Model Kleina płaszczyzny Łobaczewskiego
164
3.21.4.Model Poincarégo płaszczyzny hiperbolicznej
. 166
3.21.5. Pseudosfera Beltramiego
167
3.21.6. Przekształcenia modeli
. 170
3.22. Orientowalnosc rozmaitosci
171
4. Odwzorowania tensorów i pochodna Liego
175
4.1. Odwzorowania styczne funkcji i wektorów
175
4.2. Odwzorowania styczne dla kowektorów
179
4.3. Odwzorowania styczne dla dowolnych tensorów
. 180
4.4. Transformacje czynne i bierne
. 182
4.5. Symetrie i przeniesienie według Liego
. 184
4.6. Pochodna Liego
.
187
4.7. Ogólne własnosci pochodnej Liego
190
4.8. Pochodna Liego tensorów wzglednych
. 195
4.9. Symetrie
.
198
5. Pochodna absolutna i kowariantna
. 201
5.1. Pochodna absolutna wektora
202
5.2. Pochodna kowariantna wektora
204
5.3. Transformacje koneksji afinicznej
. 207
5.4. Pochodna kowariantna i absolutna tensora
209
5.5. Pochodne wyzszych rzedów
214
5.6. Pochodne kowariantne tensorów wzglednych
. 215
5.7. Przestrzen z koneksja afiniczna
217
5.7.1. Koneksja symetryczna i pochodna Liego
218
5.8. Przeniesienie równoległe
220
5.9. Linie geodezyjne
223
5.9.1. Przekształcenia geodezyjne koneksji afinicznej
228
5.9.2. Interpretacja geometryczna skrecenia koneksji
230
5.10. Odwzorowanie eksponencjalne i współrzedne riemannowskie
233
5.11. Krzywizna przestrzeni
.
236
5.12.Tensor krzywizny
238
5.13. Interpretacja geometryczna tensora krzywizny
245
5.14. Przestrzenie afinicznie płaskie
. 247
5.15.Pochodna Liego koneksji i krzywizny
. 253
6. Różniczkowanie w przestrzeni Riemanna
. 257
6.1. Koneksja metryczna i symetryczna
257
6.2. Kowariantne operatory rózniczkowe
263
6.3. Tozsamosci rózniczkowe pierwszego rzedu dla metryki
. 267
6.4. Rózniczkowanie tensorów wzglednych i pochodna Liego
. 270
6.5. Geodetyki jako linie najkrótsze
272
6.5.1. Form–inwariantnosc funkcjonału długosci
. 278
6.5.2. Ekstremum warunkowe
. 281
6.6. Własnosci metryczne geodetyk
285
6.7. Przykłady linii geodezyjnych
290
6.8. Współrzedne normalne riemannowskie
300
6.9. Współrzedne normalne geodezyjne Gaussa
309
7. Krzywizna i izometrie przestrzeni Riemanna
314
7.1. Tensory Riemanna i Ricciego oraz skalar krzywizny
. 314
7.2. Przestrzenie metrycznie płaskie
317
7.3. Pola wektorowe kowariantnie stałe
319
7.4. Krzywizna przestrzeni w wymiarach 1, 2 i 3
. 321
7.5. Krzywizna przestrzeni S2, H2, T2, S3 i H3
. 324
7.6. Krzywizna przestrzeni wielowymiarowych. Tensor Weyla
326
7.7. Czasoprzestrzenie czterowymiarowe
330
7.7.1. Przestrzen de Sittera
330
7.7.2. Przestrzen anty–de Sittera
. 335
7.7.3. Czasoprzestrzenie Robertsona–Walkera
337
7.7.4. Płaska fala grawitacyjna
340
7.8. Tensory krzywizny i tensory Weyla dla róznych metryk
343
7.9. Niezmienniki tensora krzywizny
345
7.10.Tozsamosci Bianchiego
.
348
7.10.1. Całkowe tozsamosci Bianchiego
. 350
7.11. Dewiacja geodezyjna
354
7.11.1. Skalarne równania dewiacji geodezyjnej
361
7.12. Krzywizna sekcyjna
.
363
7.13. Krzywizna a metryka
367
7.14. Izometrie i przestrzenie z symetriami
. 367
7.14.1. Przestrzenie o stałej krzywiznie
. 369
7.14.2. Jednorodnosc i izotropowosc
372
7.14.3. Przestrzenie o stałej krzywiznie i symetryczne
375
7.15.Wektory Killinga
376
7.15.1. Klasyczna konstrukcja wektora Killinga
378
7.16.Wyznaczenie izometrii z wektorów Killinga
380
7.17. Własnosci wektorów Killinga
. 383
7.17.1.Pola Killinga i Jacobiego
390
7.18.Warunki całkowalnosci równan Killinga
392
7.19.Wektory Killinga a jednorodnosc i izotropowosc
. 395
7.20. Przykłady wektorów Killinga
. 398
7.21.Wektory ortogonalne do hiperpowierzchni
406
7.22. Izometrie przestrzeni zamknietych
. 409
Skorowidz
413
Skorowidz nazwisk
. 421
424 strony, Format: 27.6x15.4, oprawa miękka
