ANALIZA FUNKCJONALNA DUDA J. Księgarnia

Analiza funkcjonalna

Analiza funkcjonalna, która bardzo dynamicznie rozwija się od początku XX wieku, znajduje zastosowanie w innych dziedzinach nauki szczególnie w fizyce i naukach technicznych. Metody analizy funkcjonalnej stosowane są do opisu zjawisk w mechanice kwantowej, w teorii sterowania, w teorii optymalizacji i innych.

Książka podzielona jest na trzy rozdziały. W rozdziale pierwszym podano pojęcia z zakresu topologii, przestrzeni metrycznych i struktur algebraicznych. Są one potrzebne do zrozumienia treści kolejnych rozdziałów. Rozważania rozdziału drugiego dotyczą przestrzeni Banacha. Wprowadzono w nim pojęcie normy i przestrzeni unormowanej oraz przestrzeni Banacha. Podano przykłady przestrzeni Banacha i najważniejsze twierdzenia wraz ze szczegółowymi dowodami. W rozdziale trzecim wprowadzono pojęcie iloczynu skalarnego, przestrzeni unitarnej i Hilberta. Dość dokładnie omówiono rzut prostopadły, teorię szeregów ortogonalnych, teorię operatorów sprzężonych. Przedstawiono wraz z dowodami podstawowe twierdzenia dotyczące przestrzeni Hilberta. Zakres materiału zaprezentowany w podręczniku wykracza poza program matematyki dla studentów studiów magisterskich na kierunkach technicznych i może być pomocny doktorantom tych dyscyplin naukowych, które w swoich badaniach wykorzystują aparat analizy funkcjonalnej. Podręcznik został skonstruowany w taki sposób, aby możliwe było samodzielne studiowanie.

Zamysłem autora było bardzo szczegółowe przedstawienie dowodów wszystkich twierdzeń, również tych prostych, aby nie było konieczności poszukiwania dowodów w innych źródłach. Autor starał się posługiwać stwierdzeniami zrozumiałymi również dla osób, które nie mają ukończonych studiów matematycznych, a są zainteresowane poszerzeniem swojej wiedzy w tym zakresie.

Słowo wstępne    7
Wykaz symboli                      9

1. Pojęcia wstępne                     13
1.1. Przestrzeń topologiczna                 13
1.2. Przestrzeń metryczna                  15
1.3. Struktury algebraiczne                 . 18
1.3.1. Działania                   18
1.3.2. Półgrupa                   . 18
1.3.3. Grupa                    18
1.3.4. Pierścień                   . 18
1.3.5. Ciało                    . 19
1.3.6. Przestrzeń wektorowa               . 19
1.3.7. Algebra                   . 20
1.3.8. Izomorfizm struktur algebraicznych           . 20
1.4. Przestrzeń liniowo-topologiczna               20
1.5. Pochodna słaba (uogólniona)               . 23

2. Przestrzeń Banacha                    25
2.1. Przestrzeń unormowana i algebra unormowana          . 25
2.2. Szeregi w przestrzeniach unormowanych            30
2.3. Przykłady przestrzeni Banacha               32
2.3.1. Przestrzeń funkcji ciągłych na przedziale [a, b]        . 32
2.3.2. Przestrzeń ℓp                  36
2.3.3. Przestrzeń Lp                  41
2.4. Operacje liniowe w przestrzeniach Banacha           . 52
2.4.1. Odwzorowanie liniowe               52
2.4.2. Odwzorowanie liniowe ograniczone           . 55
2.4.3. Przykłady odwzorowań liniowych            61
2.5. Operatory liniowe w przestrzeni B(X,Y)            . 64
2.5.1. Twierdzenie Banacha–Steinhausa            66
2.5.2. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym       . 67
2.5.3. Twierdzenie Banacha o izomorfizmie           71
2.5.4. Twierdzenie Banacha o wykresie domkniętym        . 72
2.5.5. Twierdzenie o obrazie domkniętym           . 74
2.6. Operatory domknięte                  75
2.6.1. Przykłady operatorów domkniętych           . 77
2.7. Przestrzeń sprzężona                  79
2.8. Zbieżność w przestrzeni Banacha              . 80
2.9. Twierdzenie o zanurzeniu przestrzeni unormowanej
w przestrzeni Banacha                 . 82
2.10. Twierdzenie Banacha
o rozszerzeniu odwzorowania jednostajnie ciągłego         87
2.11. Twierdzenie Hahna–Banacha               . 89
2.12. Algebra Banacha operatorów liniowych ograniczonych        94
2.13. Rezolwenta i widmo operatora liniowego            96
2.13.1. Wartości własne i wektory własne – przykłady        . 103
2.14. Operatory zwarte w przestrzeni Banacha            . 106

3. Przestrzeń Hilberta                    119
3.1. Iloczyn skalarny                   . 119
3.2. Wzór polaryzacyjny                  . 123
3.3. Rzut prostopadły – część 1                . 127
3.4. Szeregi ortogonalne                  . 134
3.5. Funkcjonały w przestrzeni Hilberta              143
3.6. Operatory sprzężone w przestrzeni Hilberta           . 150
3.6.1. Przykład operatora sprzężonego            . 152
3.6.2. Własności operatorów sprzężonych           . 153
3.6.3. Dekompozycja (rozkład) przestrzeni Hilberta        . 160
3.7. Klasyfikacja operatorów w przestrzeni Hilberta          . 160
3.7.1. Operator normalny                . 161
3.7.2. Podprzestrzeń niezmiennicza i redukująca         . 166
3.7.3. Operator unitarny                . 170
3.7.4. Operator symetryczny i samosprzężony          . 172
3.7.5. Przykłady operatorów symetrycznych i samosprzężonych     173
3.8. Rzut prostopadły – część 2                . 176
3.8.1. Własności rzutu prostopadłego             176
3.9. Twierdzenie spektralne                 . 178

Literatura                       . 183

184 strony, B5, oprawa miękka

Po otrzymaniu zamówienia poinformujemy,
czy wybrany tytuł polskojęzyczny lub anglojęzyczny jest aktualnie na półce księgarni.