Metody matematyczne fizyki

W skrypcie przedstawione zostały zagadnienia obejmujące funkcje specjalne (funkcje Eulera, wielomiany ortogonalne, funkcje Bessela), dystrybucje, analizę Fouriera (w ujęciu dystrybucyjnym), funkcje Greena, operatory w przestrzeniach Hilberta, metody drugiej kwantyzacji, operatorowe funkcje Greena oraz elementy teorii grup z uwzględnieniem jej zastosowań w mechanice kwantowej, chemii i fizyce ciała stałego.

Każdy rozdział uzupełniony został o zestaw odpowiednich zadań.

Przedmowa

1. OPERACJE RÓŻNICZKOWE NA POLACH SKALARNYCH I WEKTOROWYCH
1.1. Konwencja sumacyjna
1.2. Tensor antysymetryczny ?ijk
1.3. Gradient funkcji skalarnej
1.4. Dywergencja wektora
1.5. Rotacja wektora
1.6. Laplasjan funkcji skalarnej
1.7. Ważniejsze związki między wektorami i ich pochodnymi
1.8. Współrzędne krzywoliniowe
1.9. Gradient we współrzędnych walcowych i sferycznych
1.10. Elementy drogi wzdłuż linii współrzędnych
1.11. Laplasjan we współrzędnych krzywoliniowych
Zadania
2. FUNKCJE ZESPOLONE
2.1. Wprowadzenie
2.2. Przykłady funkcji zespolonych
2.3. Różniczkowanie funkcji zespolonych. Funkcje holomorficzne
2.4. Całkowanie funkcji zespolonych
2.5. Wzór całkowy Cauchy'ego
2.6. Szereg Laurenta
2.7. Residuum funkcji i jego obliczanie
2.8. Obliczanie całek rzeczywistych metodą residuów
2.9. Konforemność funkcji holomorficznych
Zadania
3. FUNKCJE EULERA
3.1. Funkcja gamma Eulera
3.2. Funkcja beta Eulera
3.3. Wzór Stirlinga
Zadania
4. WIELOMIANY ORTOGONALNE
4.1. Definicje ortogonalności
4.2. Waga i jej własności
4.3. Ogólne własności wielomianów ortogonalnych.
4.4. Równania różniczkowe dla wielomianów ortogonalnych
4.5. Wzór Rodriguesa
4.6. Normy wielomianów
4.7. Związki rekurencyjne
4.8. Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych
Zadania
5. FUNKCJE SFERYCZNE
5.1. Równanie definiujące funkcje sferyczne i jego rozwiązanie
5.2. Ortogonalność funkcji sferycznych.
5.3. Norma funkcji sferycznych
5.4. Pełny wzór na funkcje sferyczne
Zadania
6. FUNKCJE BESSELA
6.1. Równanie różniczkowe na funkcje Bessela. Szereg Bessela
6.2. Funkcje Bessela z indeksem całkowitym i ich funkcja tworząca
6.3. Przedstawienie całkowe funkcji Bessela z indeksem całkowitym
6.4. Funkcja Bessela dla indeksu 1/2
6.5. Wzory rekurencyjne dla funkcji Bessela
6.6. Zachowanie się funkcji Bessela w pobliżu x = 0
6.7. Asymptotyczna postać funkcji Bessela z indeksem połówkowym
6.8. Funkcje Neumanna i Hankela
6.9. Sferyczne funkcje Bessela
6.10. Rozwinięcie fali płaskiej na funkcje kuliste (wzór Rayleigha)
6.11. Metoda przesunięć fazowych w kwantowej teorii rozpraszania
6.12. Ortogonalność funkcji Bessela
Zadania
7. FUNKCJE UOGÓLNIONE (DYSTRYBUCJE)
7.1. Funkcje próbne
7.2. Ciągi funkcji próbnych
7.3. Definicja dystrybucji
7.4. Przykłady dystrybucji
7.5. Ciągi dystrybucyjne
7.6. Ciągi deltopodobne
7.7. Mnożenie dystrybucji przez funkcję
7.8. Różniczkowanie dystrybucji
7.9. Pochodna dystrybucyjna funkcji trzech zmiennych: laplasjan
7.10. Splot dystrybucji
7.11. Superpozycja delty Diraca z funkcją różniczkowalną
Zadania
8. TRANSFORMACJA FOURIERA
8.1. Funkcje próbne
8.2. Definicja transformaty Fouriera dla funkcji próbnej
8.3. Transformacja odwrotna
8.4. Pochodna transformaty
8.5. Transformata pochodnej
8.6. Transformata iloczynu dwóch funkcji
8.7. Transformata splotu dwóch funkcji
8.8. Iloczyn skalarny transformat
8.9. Transformata funkcji przesuniętej
8.10. Transformata funkcji parzystej i nieparzystej
8.11. Transformata Fouriera dystrybucji
8.12. Transformata delty Diraca
8.13. Transformata funkcji stałej
8.14. Transformata funkcji przesuniętej
8.15. Transformata potęgi
8.16. Transformata funkcji sinus
8.17. Transformata funkcji schodkowej
Zadania
9. SZEREGI FOURIERA
9.1. Dystrybucja okresowa
9.2. Definicja współczynnika Fouriera
9.3. Szereg Fouriera
9.4. Równość Bessela-Parsevala
9.5. Rozwinięcie w szereg sinusów i cosinusów
9.6. Szeregi Fouriera w fizyce ciała stałego
Zadania
10. OPERATORY LINIOWE
10.1. Przykłady operatorów liniowych
10.2. Iloczyn operatorów
10.3. Funkcja o argumencie operatorowym
10.4. Operator przesunięcia
10.5. Sumowanie szeregów operatorowych
10.6. Komutator dwóch operatorów
10.7. Operator sprzężony
10.8. Operator hermitowski (samosprzężony)
10.9. Operator odwrotny
10.10. Operator unitarny
10.11. Elementy macierzowe operatora
10.12. Ślad operatora
10.13. Wektory i wartości własne
10.14. Zagadnienie własne dla operatorów hermitowskich
Zadania
11. OPERATORY KREACJI I ANIHILACJI
11.1. Definicja operatorów kreacji i anihilacji dla bozonów
11.2. Bozonowy operator liczby cząstek
11.3. Związki komutacyjne dla operatorów bozonowych
11.4. Fermionowe operatory kreacji i anihilacji
11.5. Fermionowy operator liczby cząstek
11.6. Związki komutacyjne dla operatorów fermionowych
11.7. Potęgowanie i mnożenie operatorów kreacji i anihilacji
11.8. Operatory polowe
11.9. Wyrażanie dowolnych operatorów jednocząstkowych przez operatory kreacji i anihilacji
11.10. Diagonalizacja operatora jednocząstkowego
11.11. Operatory dwucząstkowe wyrażone przez operatory kreacji i anihilacji
Zadania
12. GRUPY I ICH REPREZENTACJE
12.1. Abstrakcyjna definicja grupy
12.2. Przykłady grup algebraicznych
12.3. Grupa permutacji
12.4. Grupy symetrii molekuł i kryształów
12.5. Terminologia najważniejszych grup symetrii molekuł i kryształów
12.6. Grupa obrotów przestrzeni trójwymiarowej
12.7. Inwersje, translacje, odbicia
12.8. Grupy cykliczne, podgrupy, klasy
12.9. Podział grupy na klasy
12.10. Reprezentacje grup
12.11. Reprezentacje równoważne
12.12. Reprezentacje przywiedlne
12.13. Własności komutacyjne reprezentacji nieprzywiedlnej
12.14. Lemat Schura
12.15. "Wielkie" twierdzenie o ortogonalności
12.16. Charakter reprezentacji
12.17. Ortogonalność charakterów
12.18. Charaktery reprezentacji przywiedlnych
12.19. Kryterium nieprzywiedlności
12.20. Reprezentacje i charaktery grup przemiennych
12.21. Iloczyn reprezentacji
12.22. Tablice charakterów
Zadania
13. FUNKCJE GREENA
13.1. Funkcje Greena dla równań różniczkowych
13.2. Funkcja Greena dla oscylatora harmonicznego
13.3. Funkcja Greena dla kwantowej cząstki swobodnej
13.4. Operatorowa funkcja Greena
13.5. Elementy macierzowe funkcji Greena w dowolnej bazie
13.6. Wyrażenie funkcji Greena przez funkcje własne operatora H
13.7. Funkcje Greena a operatory kreacji i anihilacji
13.8. Rachunek zaburzeń dla funkcji Greena
13.9. Związek z równaniem Schrödingera
13.10. Związek funkcji Greena z funkcją gęstości stanów
Zadania
14. RACHUNEK WARIACYJNY
14.1. Wariacja funkcji i funkcjonału
14.2. Ekstremum funkcjonału
14.3. Równania Eulera
14.4. Zastosowania fizyczne
14.5. Ekstremum warunkowe
15. TRANSFORMACJA LAPLACE'A
15.1. Definicja transformaty Laplace'a
15.2. Przykłady transformat
15.3. Transformacja odwrotna
15.4. Transformata pochodnej
15.5. Transformata całki z oryginału
15.6. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą transformacji Laplace' a
15.7. Inne własności transformacji Laplace'a
Zadania
Dodatek. RÓWNANIA RÓŻNICOWE LINIOWE
D.1. Równania liniowe pierwszego rzędu
D.2. Równania jednorodne rzędu drugiego
Odpowiedzi do zadań
Literatura