Wykłady z algebry

Prezentowana książka przeznaczona jest głównie dla studentów kierunków matematycznych szkół wyższych. Omawiane są w niej zagadnienia wyszczególnione w obowiązujących programach dwóch przedmiotów: algebry liniowej z geometrią (pierwszy rok studiów uniwersyteckich) i algebry (drugi rok studiów). Układ materiału w książce uwzględnia powyższą kolejność wykładów.

W książce wykorzystałem w znacznym zakresie opracowanie wykładów z algebry i algebry liniowej z geometrią, które prowadziłem wielokrotnie w Uniwersytecie Łódzkim.

z przedmowy

Przedmowa

0. Informacje o podstawowych strukturach algebraicznych
1. Wiadomości wstępne. Notacja
2. Relacje. Zasada abstrakcji
3. Działania
4. Grupy
5. Pierścienie
6. Ciała
7. Ciało liczb rzeczywistych. Liczby naturalne
8. Teoria podzielności w zbiorze Z
9. Ciało liczb zespolonych
10. Przestrzenie liniowe. Moduły
11. Algebry
12. Kraty. Algebry i pierścienie Boole’a
13. Funkcje wielomianowe. Formy

1. Przestrzenie liniowe
1. Definicja i przykłady
2. Podprzestrzenie liniowe
3. Otoczka liniowa
4. Sumy wektorów
5. Liniowa kombinacja wektorów
6. Liniowa niezależność wektorów
7. Baza i wymiar
8. Przestrzeń ilorazowa
9. Suma i suma prosta podprzestrzeni

2. Wyznaczniki. Układy równań liniowych
1. Wybrane informacje o permutacjach
2. Wyznaczniki
3. Działania na macierzach
4. Macierze ortogonalne
5. Układy równań liniowych
6. Rząd macierzy
7. Rozwiązywanie układów równań liniowych
8. Równania podprzestrzeni liniowych przestrzeni współrzędnych

3. Przekształcenia liniowe
1. Przekształcenia liniowe
2. Układy współrzędnych
3. Jądro i obraz przekształcenia liniowego
4. Przestrzeń przekształceń liniowych
5. Reprezentacja analityczna i macierzowa przekształcenia liniowego
6. Rząd i defekt przekształcenia liniowego
7. Macierz przejścia. Wyznacznik endomorfizmu
8. Orientacja
9. Podprzestrzenie niezmiennicze. Wektory i wartości własne
10. Przestrzenie sprzężone

4. Przestrzenie euklidesowe, unormowane i metryczne
1. Funkcjonały dwuliniowe
2. Przestrzenie euklidesowe
3. Przekształcenia ortogonalne
4. Przekształcenia samosprzężone
5. Długość wektora. Przestrzenie unormowane
6. Przestrzenie metryczne
7. Izometrie przestrzeni euklidesowych
8. Wyznacznik Grama
9. Iloczyn wektorowy
10. Funkcjonały i formy kwadratowe
11. Przestrzeń euklidesowa Rn

5. Grupy
1. Podstawowe własności
2. Podgrupy
3. Zbiory i układy generatorów
4. Warstwy
5. Dzielnik normalny. Grupa ilorazowa
6. Homomorfizmy
7. Iloczyn i suma prosta
8. Grupy cykliczne
9. Grupy abelowe
10. Grupy rozwiązalne
11. Permutacje. Grupy przekształceń
12. Centrum grupy; p-grupy
13. Permutacje zbiorów skończonych. Grupy Sn
14. Informacje o grupach wolnych

6. Pierścienie. Ciała
1. Pierścienie i homomorfizmy
2. Podpierścienie. Ideały. Pierścienie reszt
3. Pierścień wielomianów
4. Ideały w pierścieniach przemiennych
5. Zagadnienie podzielności w pierścieniach całkowitych
6. Ciała
7. Konstrukcja pierścienia i ciała ułamków

7. Wielomiany
1. Pierścień funkcji wielomianowych
2. Zagadnienie podzielności w pierścieniu wielomianów
3. Pierwiastki wielomianów
4. Wielomiany zespolone i rzeczywiste
5. Równania algebraiczne trzeciego i czwartego stopnia
6. Wielomiany o współczynnikach całkowitych i wymiernych
7. Wielomiany wielu zmiennych
8. Wielomiany symetryczne
9. Ciało funkcji wymiernych
10. Ułamki proste

8. Rozszerzenia algebraiczne
1. Elementy algebraiczne
2. Rozszerzenia algebraiczne
3. Ciało rozkładu wielomianu
4. Ciała algebraicznie domknięte
5. Twierdzenie o elemencie pierwotnym

9. Teoria Galois
1. Rozszerzenia normalne
2. Automorfizmy ciał
3. Grupy Galois
4. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois
5. Rozszerzenia pierwiastnikowe
6. Zagadnienie rozwiązalności równań algebraicznych za pomocą pierwiastników
7. Uwagi o konstrukcjach geometrycznych wykonalnych za pomocą cyrkla i linijki
8. Uwagi o wykonalności klasycznych konstrukcji Starożytności

10. Kraty
1. Definicje, charakteryzacja
2. Przykłady
3. Izomorfizm
4. Zasady dualności
5. Kraty modularne
6. Elementy neutralne
7. Diagramy krat
8. Podkraty
9. Kraty rozdzielne
10. Algebry i pierścienie Boole’a

Bibliografia
Skorowidz symboli
Skorowidz rzeczowy
Skorowidz nazwisk

429 stron